Matematik konu anlatımı
Çarpanlar ve Katlar: EBOB ve EKOK
Ortaokul
Bir sayıyı kalansız bölen doğal sayılara o sayının çarpanları (bölenleri), sayının doğal sayılarla çarpımlarına katları denir. EBOB iki ya da daha fazla sayının en büyük ortak böleni, EKOK en küçük ortak katıdır. Bu sayfada asal çarpanlara ayırma, bölünebilme kuralları, EBOB ve EKOK bulma yöntemleri ve problemlerde hangisinin kullanılacağı özetlenir.
Matematiği birlikte çözelim
Özel ders matematik öğretmenleri burada
Tanışma görüşmesi ücretsiz, ders sayılmaz
Matematik öğretmenlerini görİçindekiler
- Çarpan ve kat nedir?
- Asal sayı nedir?
- Asal çarpanlara ayırma nasıl yapılır?
- Bölünebilme kuralları (2, 3, 4, 5, 6, 9, 10)
- EBOB ve EKOK nasıl bulunur?
- EBOB · EKOK = a · b ilişkisi
- Aralarında asal sayılar nedir?
- Problemde EBOB mu EKOK mu kullanılır?
- Çözümlü EBOB-EKOK problemleri
- Sık yapılan hatalar
- Kısa alıştırma
Çarpan ve kat nedir?
a sayısı b sayısını kalansız bölüyorsa a, b'nin çarpanıdır (böleni); b de a'nın katıdır. Bir sayının çarpanları sınırlıdır, katları ise sonsuza kadar devam eder.
12'nin çarpanları: 1, 2, 3, 4, 6, 12
1 · 12, 2 · 6, 3 · 4 çarpımlarından bulunur
12'nin katları: 12, 24, 36, 48, …
12 · 1, 12 · 2, 12 · 3, …
3, 12'nin çarpanıdır; 12, 3'ün katıdır
1 her sayının çarpanıdır; her sayı kendisinin hem çarpanı hem katıdır.
Asal sayı nedir?
Tanım
1'den büyük olup yalnızca 1'e ve kendisine bölünebilen doğal sayıya asal sayı denir.
İlk asal sayılar: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47. 1'den büyük olup asal olmayan sayılara bileşik sayı denir (4, 6, 8, 9, 10, …).
- 1 asal sayı değildir; tek bir böleni vardır.
- 2, çift olan tek asal sayıdır.
- Bir sayının asal olup olmadığını anlamak için karekökünden küçük ya da ona eşit asal sayılara bölünüp bölünmediğine bakmak yeterlidir. Örneğin 91 = 7 · 13 olduğu için asal değildir.
Asal çarpanlara ayırma nasıl yapılır?
Sayı, en küçük asal bölenden başlanarak art arda bölünür; sonuç 1 olunca durulur. Bu düzene bölen merdiveni denir. Kullanılan bölenlerin çarpımı sayıyı verir ve üslü biçimde yazılır.
| Sayı | Asal bölen |
|---|---|
| 360 | 2 |
| 180 | 2 |
| 90 | 2 |
| 45 | 3 |
| 15 | 3 |
| 5 | 5 |
| 1 | — |
Sonuç
360 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 2³ · 3² · 5
84 = 2² · 3 · 7
84 → 42 → 21 → 7 → 1 (bölenler 2, 2, 3, 7)
90 = 2 · 3² · 5
100 = 2² · 5²
Merdivende yalnızca asal sayılarla bölünür. 360 = 4 · 90 yazıp bırakmak asal çarpanlara ayırma değildir.
Bölünebilme kuralları (2, 3, 4, 5, 6, 9, 10)
Bölme işlemi yapmadan bir sayının hangi sayılara tam bölündüğünü hızlıca anlamak için kullanılır; asal çarpanlara ayırmayı da kolaylaştırır.
| Bölen | Kural | Örnek |
|---|---|---|
| 2 | Birler basamağı çift (0, 2, 4, 6, 8) | 1 358 |
| 3 | Rakamları toplamı 3'ün katı | 4 212 → 4 + 2 + 1 + 2 = 9 |
| 4 | Son iki basamağın oluşturduğu sayı 4'ün katı (00 dahil) | 7 316 → 16 |
| 5 | Birler basamağı 0 veya 5 | 2 745 |
| 6 | Hem 2'ye hem 3'e bölünebilir | 1 254 → çift ve 1 + 2 + 5 + 4 = 12 |
| 9 | Rakamları toplamı 9'un katı | 5 391 → 5 + 3 + 9 + 1 = 18 |
| 10 | Birler basamağı 0 | 8 930 |
4'e bölünebilmede yalnızca son basamağa bakılmaz: 34'ün son rakamı 4'tür ama 34, 4'e bölünmez. 6 için de iki koşul birlikte aranır: 15, 3'e bölünür ama tek olduğu için 6'ya bölünmez.
EBOB ve EKOK nasıl bulunur?
EBOB (en büyük ortak bölen), sayıların hepsini bölen en büyük sayıdır. EKOK (en küçük ortak kat), sayıların hepsinin katı olan en küçük pozitif sayıdır. Küçük sayılarda bölenleri ve katları listelemek de işe yarar; genel olarak iki yöntem kullanılır.
1. yöntem: Asal çarpanlar
EBOB = ortak asal çarpanların en küçük üslüleri çarpımı; EKOK = bütün asal çarpanların en büyük üslüleri çarpımı
24 = 2³ · 3 ve 36 = 2² · 3²
EBOB(24, 36) = 2² · 3 = 12
Ortak çarpanlar 2 ve 3; küçük üsler seçildi
EKOK(24, 36) = 2³ · 3² = 72
Tüm çarpanlar; büyük üsler seçildi
2. yöntem: Ortak bölen merdiveni. Sayılar yan yana yazılır ve asal sayılarla birlikte bölünür; bölünemeyen sayı aynen aşağı indirilir. Bütün sayılar 1 olunca durulur. Kullanılan tüm bölenlerin çarpımı EKOK'u, sayıların hepsini birden bölen bölenlerin çarpımı EBOB'u verir.
| 24 | 36 | Bölen | İkisini de böldü mü? |
|---|---|---|---|
| 24 | 36 | 2 | Evet |
| 12 | 18 | 2 | Evet |
| 6 | 9 | 2 | Hayır (yalnızca 6) |
| 3 | 9 | 3 | Evet |
| 1 | 3 | 3 | Hayır (yalnızca 3) |
| 1 | 1 | — | — |
EKOK = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 = 72
EBOB = 2 · 2 · 3 = 12
Yalnızca “Evet” satırlarındaki bölenler
EBOB(12, 18, 30) = 6, EKOK(12, 18, 30) = 180
12 = 2² · 3, 18 = 2 · 3², 30 = 2 · 3 · 5
EBOB · EKOK = a · b ilişkisi
İki sayı için
EBOB(a, b) · EKOK(a, b) = a · b
12 · 72 = 864 ve 24 · 36 = 864
EBOB(24, 36) = 12, EKOK(24, 36) = 72
EBOB = 6, EKOK = 72 ve sayılardan biri 18 ise diğeri 6 · 72 ÷ 18 = 24
Kontrol: EBOB(18, 24) = 6, EKOK(18, 24) = 72
Bu eşitlik yalnızca iki sayı için geçerlidir. 12, 18 ve 30 için EBOB · EKOK = 6 · 180 = 1080 iken sayıların çarpımı 6480'dir.
Aralarında asal sayılar nedir?
1'den başka ortak böleni olmayan, yani EBOB'u 1 olan sayılara aralarında asal denir. Sayıların kendilerinin asal olması gerekmez.
- 8 ve 15 aralarında asaldır (8 = 2³, 15 = 3 · 5); ikisi de asal değildir.
- Aralarında asal iki sayının EKOK'u çarpımlarına eşittir: EKOK(8, 15) = 120.
- Ardışık iki doğal sayı her zaman aralarında asaldır (14 ve 15 gibi).
- 1, her doğal sayıyla aralarında asaldır.
Problemde EBOB mu EKOK mu kullanılır?
| İpucu | Kullanılan | Neden |
|---|---|---|
| Parçalara ayırma, eşit ve en büyük parça, küçültme, paylaştırma | EBOB | Sonuç verilen sayılardan küçük ve hepsini bölen bir sayıdır |
| Birlikte olma, buluşma, tekrar eden olaylar, en küçük kare/küp oluşturma | EKOK | Sonuç verilen sayılardan büyük ve hepsinin katı olan bir sayıdır |
Pratik kontrol: cevap verilen sayılardan küçük çıkmalıysa EBOB, büyük çıkmalıysa EKOK aranır.
Çözümlü EBOB-EKOK problemleri
48 cm ve 60 cm uzunluğundaki iki kurdele, hiç artmayacak şekilde eşit uzunlukta ve olabildiğince uzun parçalara kesiliyor. Kaç parça elde edilir?
EBOB(48, 60) = 12 cm. Parça sayısı: 48 ÷ 12 + 60 ÷ 12 = 4 + 5 = 9
Boyutları 18 m ve 24 m olan bahçe, eşit ve en büyük kare parsellere bölünüyor. Kaç parsel oluşur?
EBOB(18, 24) = 6 m. Parsel sayısı: 3 · 4 = 12
Bir otobüs 12 dakikada, diğeri 18 dakikada bir kalkıyor. İkisi 08.00'de birlikte kalktıysa bir sonraki ortak kalkış ne zaman?
EKOK(12, 18) = 36 dakika → 08.36
Kenarları 4 cm ve 6 cm olan dikdörtgen kartlar aynı yönde yan yana dizilerek en küçük kare oluşturuluyor. Kaç kart gerekir?
EKOK(4, 6) = 12 cm kenarlı kare; 12 ÷ 4 = 3 ve 12 ÷ 6 = 2 → 3 · 2 = 6 kart
6'şar ve 8'er sayıldığında her seferinde 2 artan iki basamaklı en küçük sayı kaçtır?
Sayı, EKOK(6, 8) = 24'ün katından 2 fazladır: 24k + 2. İki basamaklı en küçüğü 26
Sık yapılan hatalar
| Yanlış | Doğru | Neden? |
|---|---|---|
| 1 asal sayıdır. | 1 asal da bileşik de değildir. | Asal sayının 1'den büyük olması ve tam iki böleni olması gerekir. |
| Aralarında asal sayıların ikisi de asaldır. | 8 ve 15 gibi asal olmayan sayılar da aralarında asal olabilir. | Tek koşul EBOB'un 1 olmasıdır. |
| 34 son rakamı 4 olduğu için 4'e bölünür. | 34, 4'e bölünmez; son iki basamak (34) 4'ün katı değildir. | 4'e bölünebilmede son iki basamağa bakılır. |
| Parçalama probleminde EKOK almak. | Eşit ve en büyük parçaya ayırmada EBOB alınır. | Parça boyu verilen uzunluklardan büyük olamaz. |
| Üç sayı için EBOB · EKOK = a · b · c yazmak. | Bu eşitlik yalnızca iki sayı için geçerlidir. | 12, 18, 30 örneğinde 1080 ≠ 6480. |
| EBOB(24, 36) hesabında büyük üsleri seçmek: 2³ · 3² = 72 | EBOB(24, 36) = 2² · 3 = 12 | EBOB'da ortak çarpanların küçük üslüleri, EKOK'ta büyük üslüleri alınır. |
Kısa alıştırma
1.90 sayısını asal çarpanlarına ayırın.
Cevabı göster
90 → 45 → 15 → 5 → 1; 90 = 2 · 3² · 5
2.EBOB(42, 56) ve EKOK(42, 56) kaçtır?
Cevabı göster
42 = 2 · 3 · 7, 56 = 2³ · 7 → EBOB = 14, EKOK = 2³ · 3 · 7 = 168
3.Üç basamaklı 7A4 sayısı 9'a tam bölünüyorsa A kaçtır?
Cevabı göster
7 + A + 4 = 18 olmalı → A = 7
4.14 ve 25 aralarında asal mıdır?
Cevabı göster
Evet; 14 = 2 · 7 ve 25 = 5², ortak asal çarpan yok
5.İki sayının EBOB'u 4, EKOK'u 60'tır. Sayılardan biri 12 ise diğeri kaçtır?
Cevabı göster
4 · 60 ÷ 12 = 20
6.İki lamba 15 ve 20 saniyede bir yanıyor. Birlikte yandıktan kaç saniye sonra yeniden birlikte yanarlar?
Cevabı göster
EKOK(15, 20) = 60 saniye
7.36 elma ve 48 armut, karıştırılmadan ve her poşette eşit sayıda meyve olacak şekilde poşetlere konuyor. En az kaç poşet gerekir?
Cevabı göster
EBOB(36, 48) = 12 → 3 + 4 = 7 poşet