Olasılık Konu Anlatımı

Olasılık, sonucu önceden kesin olarak bilinemeyen bir durumda bir olayın ne kadar mümkün olduğunu gösteren sayıdır. Bu sayı her zaman 0 ile 1 arasındadır ve kesir, ondalık sayı ya da yüzde olarak yazılabilir: 1/2 = 0,5 = %50.

Olasılık değeri 0'a yaklaştıkça olayın gerçekleşmesi zorlaşır, 1'e yaklaştıkça kolaylaşır.

• Bir para atılıyor: E = {Y, T}

  Y: yazı, T: tura; s(E) = 2

• İki para atılıyor: E = {YY, YT, TY, TT}

  YT ile TY farklı çıktılardır; s(E) = 4

• İki zar atılıyor: s(E) = 6 · 6 = 36

  Her çıktı (birinci zar, ikinci zar) sıralı ikilisidir.

s(A) ifadesi, A kümesindeki eleman (çıktı) sayısını gösterir.

Tüm çıktıların eşit olasılıklı olduğu (her birinin gelme şansının aynı olduğu) deneylerde bir A olayının olasılığı şöyle hesaplanır:

• Zarda 6 gelme olasılığı

  A = {6} → 1/6

• Zarda asal sayı gelme olasılığı

  A = {2, 3, 5} → 3/6 = 1/2

• Zarda 3'ün katı gelme olasılığı

  A = {3, 6} → 2/6 = 1/3

• Para atıldığında yazı gelme olasılığı

  A = {Y} → 1/2

Formül yalnızca çıktılar eşit olasılıklıysa geçerlidir. Hileli bir zarda ya da iki zarın toplamında (2 ile 7 toplamının şansı aynı değildir) çıktılar eşit olasılıklı sayılamaz.

• Kesin olay: Her durumda gerçekleşen olaydır, olasılığı 1'dir. Ör. zarda 7'den küçük bir sayı gelmesi: 6/6 = 1.
• İmkânsız olay: Hiçbir durumda gerçekleşmeyen olaydır, olasılığı 0'dır. Ör. zarda 7 gelmesi: 0/6 = 0.

Hesap sonunda negatif ya da 1'den büyük bir olasılık bulunduysa işlemde hata vardır.

Bir A olayının gerçekleşmemesi durumuna A'nın tümleyeni denir ve A' ile gösterilir. A ile A' birlikte örnek uzayın tamamını oluşturduğu için olasılıklarının toplamı 1'dir.

• Zarda 6 gelmeme olasılığı

  1 − 1/6 = 5/6

• 3 kırmızı, 5 mavi, 2 yeşil top bulunan torbadan kırmızı olmayan top çekme olasılığı

  1 − 3/10 = 7/10 (kırmızı olmayan 7 top vardır)

“En az bir” ya da “… olmama” geçen sorularda istenen durumları tek tek saymak yerine tümleyeni hesaplayıp 1'den çıkarmak çoğu zaman daha kısadır.

• Torba: 3 kırmızı, 5 mavi, 2 yeşil top var (toplam 10). Mavi top çekme olasılığı?

  5/10 = 1/2; yeşil için 2/10 = 1/5

• Kart (52'lik deste): Kupa çekme olasılığı?

  13/52 = 1/4

• Kart (52'lik deste): As çekme olasılığı?

  4/52 = 1/13

• Kart (52'lik deste): Resimli kart (vale, kız, papaz) çekme olasılığı?

  3 · 4 = 12 kart → 12/52 = 3/13

• Numaralı kartlar: 1'den 20'ye kadar numaralı kartlardan asal sayı çekme olasılığı?

  {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} → 8/20 = 2/5

• İki para: En az bir yazı gelme olasılığı?

  {YY, YT, TY} → 3/4 (ya da 1 − P(TT) = 1 − 1/4 = 3/4)

İki zarın toplamı: İki zar atıldığında 36 eşit olasılıklı çıktı vardır; ancak toplamlar eşit olasılıklı değildir. Her toplamı veren ikililer sayılarak olasılık bulunur.

• Toplamın 7 olması

  (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) → 6/36 = 1/6

• Toplamın 5'ten küçük olması

  Toplam 2, 3 veya 4: 1 + 2 + 3 = 6 çıktı → 6/36 = 1/6

• İki zarın aynı gelmesi

  (1,1), (2,2), …, (6,6) → 6/36 = 1/6

Olayların olasılıkları hesaplanıp karşılaştırılır: olasılığı büyük olan daha olası, olasılıkları aynı olan olaylar eşit olasılıklı (eşit şansa sahip) olaylardır.

• Zarda tek sayı gelmesi ile çift sayı gelmesi

  İkisi de 3/6 = 1/2 → eşit olasılıklı

• Zarda 2'den büyük gelmesi ile 3'ten küçük gelmesi

  4/6 > 2/6 → 2'den büyük gelmesi daha olası

• 3 kırmızı, 5 mavi, 2 yeşil topluk torba

  En olası mavi (5/10), en az olası yeşil (2/10)

• A torbası: 2 kırmızı, 3 mavi; B torbası: 3 kırmızı, 5 mavi. Kırmızı çekmek hangisinde daha olası?

  A: 2/5 = 16/40, B: 3/8 = 15/40 → A torbasında daha olası

Farklı torbalar karşılaştırılırken top sayısına değil orana bakılır. B'de daha çok kırmızı top olsa da toplam top sayısı da fazladır.

Bu kısım lise düzeyine kısa bir giriştir. Birinin sonucu diğerinin olasılığını değiştirmeyen olaylara bağımsız olaylar denir (para atmak ve zar atmak gibi). Bağımsız olayların birlikte (“ve”) gerçekleşme olasılığı, olasılıkların çarpımıdır.

• Para yazı ve zar 6 gelmesi

  1/2 · 1/6 = 1/12

• İki zarın ikisinin de 6 gelmesi

  1/6 · 1/6 = 1/36

• Zarda çift sayı veya 3'ün katı gelmesi

  3/6 + 2/6 − 1/6 = 4/6 = 2/3 (ortak çıktı 6 bir kez sayılır: {2, 3, 4, 6})

• Zarda 1 veya 2 gelmesi (ortak çıktı yok, ayrık olaylar)

  1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3

Torbadan geri koymadan art arda çekiş bağımsız değildir; ikinci çekişte toplam azalır. 3 kırmızı, 2 mavi topluk torbadan geri koymadan iki kırmızı: 3/5 · 2/4 = 3/10. Geri koyarak çekilirse: 3/5 · 3/5 = 9/25.

• Teorik olasılık: Deney yapılmadan, olası çıktılar üzerinden hesaplanan olasılıktır. Ör. paranın yazı gelme olasılığı 1/2.
• Deneysel olasılık: Deney yapılarak bulunur: olayın gözlenme sayısı / deneme sayısı.

Deneysel olasılık her denemede farklı çıkabilir. Deneme sayısı arttıkça deneysel olasılık teorik olasılığa yaklaşır.