Oran ve Orantı Konu Anlatımı

İki çokluğun birbirine bölünerek karşılaştırılmasına oran denir. a ve b sayılarının oranı a/b ya da a:b biçiminde yazılır ve “a'nın b'ye oranı” diye okunur. Paydadaki b sıfır olamaz.

• Birimsiz oran: Aynı birimdeki çokluklar oranlanır, birimler sadeleşir. Ör. 12 kız öğrencinin 18 erkek öğrenciye oranı 12/18 = 2/3.
• Birimli oran: Farklı türden çokluklar oranlanır, sonuç bir birim taşır. Ör. 180 km yolun 3 saate oranı 180/3 = 60 km/sa (hız).

Aynı türden çokluklar oranlanmadan önce aynı birime çevrilir: 50 cm'nin 2 m'ye oranı 50/200 = 1/4 olur, 50/2 değil.

İki ya da daha fazla oranın eşitliğine orantı denir. a/b = c/d (ya da a:b = c:d) orantısında a ve d dışlar, b ve c içler olarak adlandırılır.

• x/6 = 4/8 → 8 · x = 6 · 4 → 8x = 24 → x = 3

  Kontrol: 3/6 = 1/2 ve 4/8 = 1/2

• 5/x = 15/12 → 15 · x = 5 · 12 → 15x = 60 → x = 4

  Kontrol: 5/4 = 15/12 = 1,25

Eşit oranların ortak değerine orantı sabiti denir ve genellikle k ile gösterilir. Birden fazla bilinmeyen içeren sorularda her bilinmeyen k cinsinden yazılarak çözüm kolaylaşır.

• a/3 = b/5 = k ve a + b = 40 ise 3k + 5k = 40 → k = 5

  a = 3 · 5 = 15, b = 5 · 5 = 25 (15 + 25 = 40)

İki çokluktan biri artarken diğeri de aynı oranda artıyorsa (biri azalırken diğeri aynı oranda azalıyorsa) bu çokluklar doğru orantılıdır. Karşılıklı değerlerin oranı her zaman sabittir.

Doğru orantılı iki çokluğun grafiği, başlangıç noktasından (0, 0) geçen bir doğrudur. Doğrunun dikliği orantı sabitine bağlıdır: k büyüdükçe doğru daha dik olur.

• 3 kg elma 90 TL ise 5 kg elma kaç TL?

  1 kg = 90 ÷ 3 = 30 TL → 5 kg = 5 · 30 = 150 TL

İki çokluktan biri artarken diğeri aynı oranda azalıyorsa bu çokluklar ters orantılıdır. Bu durumda karşılıklı değerlerin çarpımı sabittir: biri 2 katına çıkınca diğeri yarıya iner.

Ters orantının grafiği bir doğru değil, eğridir. Eğri eksenlere giderek yaklaşır ama onlara hiç değmez; başlangıç noktasından da geçmez.

• Bir araç saatte 60 km hızla bir yolu 4 saatte alıyor. Saatte 80 km hızla kaç saatte alır?

  Yol = 60 · 4 = 240 km → 240 ÷ 80 = 3 saat

Karar için şu soru sorulur: “Bir çokluk 2 katına çıkarsa, diğer her şey sabitken öteki çokluk ne olur?” 2 katına çıkıyorsa doğru, yarıya iniyorsa ters orantı vardır.

• 6 işçi bir işi 10 günde bitiriyor. Aynı işi 15 işçi kaç günde bitirir?

  Ters orantı: 6 · 10 = 60 → 60 ÷ 15 = 4 gün

“Biri artarken diğeri de artıyor” demek tek başına doğru orantı için yeterli değildir; artış aynı oranda olmalıdır. Örneğin yaş arttıkça boy da uzar ama 10 yaşındaki çocuk 5 yaşındakinin iki katı boyda değildir, yani bu bir orantı değildir.

İkiden fazla çokluğun birlikte değiştiği orantılara bileşik orantı denir. Pratik yol, işi tek bir birime indirmektir (ör. “işçi · saat · gün” ya da “makine · saat”). Sonra her çokluğun aranan çoklukla doğru mu ters mi orantılı olduğu ayrı ayrı düşünülür.

• 4 işçi günde 6 saat çalışarak bir işi 9 günde bitiriyor. 6 işçi günde 9 saat çalışarak aynı işi kaç günde bitirir?

  Toplam iş = 4 · 6 · 9 = 216 işçi-saat → 6 · 9 · x = 216 → 54x = 216 → x = 4 gün

• 5 makine 4 saatte 800 parça üretiyor. 3 makine 6 saatte kaç parça üretir?

  1 makine 1 saatte 800 ÷ (5 · 4) = 40 parça → 3 · 6 · 40 = 720 parça

Bir miktar a:b:c oranında paylaştırılırken paylar ak, bk ve ck olarak düşünülür. Toplam parça sayısı (a + b + c) bulunur, miktar bu sayıya bölünerek bir parçanın değeri hesaplanır.

1. Oran terimleri toplanır: toplam parça sayısı bulunur.
2. Paylaştırılacak miktar toplam parça sayısına bölünür: bir parça (k) bulunur.
3. Her oran terimi k ile çarpılır.

• 360 sayısı 2:3:4 oranında paylaştırılırsa parçalar nedir?

  2 + 3 + 4 = 9 parça → 360 ÷ 9 = 40 → 80, 120, 160

• İki kardeşin harçlıkları 5:7 oranında ve aralarındaki fark 40 TL ise harçlıklar kaç TL?

  7k − 5k = 2k = 40 → k = 20 → 100 TL ve 140 TL

• 150 sayısı 2 ve 3 ile ters orantılı iki parçaya ayrılırsa parçalar nedir?

  1/2 ve 1/3 ile doğru orantı → 3:2 oranı → 150 ÷ 5 = 30 → 90 ve 60

Ters orantılı paylaştırmada büyük sayıya küçük pay düşer. Kontrol: 90 · 2 = 180 ve 60 · 3 = 180, çarpımlar eşittir.

• Tarif: 4 kişilik kek için 300 g un gerekiyor. 6 kişilik kek için kaç gram un gerekir?

  Doğru orantı: 300 ÷ 4 = 75 g (kişi başı) → 75 · 6 = 450 g

• Harita ölçeği: 1:200 000 ölçekli haritada 3 cm olan mesafe gerçekte kaç km?

  3 · 200 000 = 600 000 cm = 6 000 m = 6 km

• Yakıt: Bir araç 100 km'de 6 litre yakıt harcıyor. 250 km'de kaç litre harcar?

  Doğru orantı: 6 · 250 ÷ 100 = 15 litre

• Paylaşım: 8 kişilik bir grubun yiyeceği 6 gün yetiyor. Grup 12 kişi olursa yiyecek kaç gün yeter?

  Ters orantı: 8 · 6 = 48 → 48 ÷ 12 = 4 gün