Üslü Sayılar Konu Anlatımı

Aynı sayının art arda çarpımı üslü biçimde yazılır. Çarpılan sayıya taban, kaç kez çarpıldığını gösteren sayıya üs (kuvvet) denir. aⁿ ifadesi “a'nın n'inci kuvveti” diye okunur.

• 2⁴ = 16

  2 · 2 · 2 · 2 = 16

• 3³ = 27

  3 · 3 · 3 = 27

• 5² = 25

  “5'in karesi” diye de okunur

• a¹ = a

  Üssü 1 olan sayı kendisine eşittir: 7¹ = 7

Üs, tabanla çarpılmaz: 2⁴ ifadesi 2 · 4 = 8 değil, 16'dır.

Taban negatifse sonucun işareti üssün tek ya da çift olmasına bağlıdır. Pozitif bir tabanın her kuvveti pozitiftir.

Parantez yoksa üs yalnızca sayıya aittir, eksi işareti sonuca en son eklenir. Parantez varsa eksi işareti de tabanın parçasıdır ve kuvvete girer.

• (−3)² = 9

  Taban −3, üs çift → pozitif

• −3² = −9

  Taban 3, sonuç eksiyle çarpılır

• (−1)¹⁰⁰ = 1, (−1)¹⁰¹ = −1

  −1'in çift kuvveti 1, tek kuvveti −1'dir

Sıfırdan farklı her sayının sıfırıncı kuvveti 1'dir. Bunun nedeni bölme kuralıdır: a³ ÷ a³ hem 1'e hem de a³⁻³ = a⁰ ifadesine eşittir. 0⁰ ifadesi ise tanımsız kabul edilir.

• 7⁰ = 1

• (−5)⁰ = 1

  Taban −5'tir, sonuç 1

• −5⁰ = −1

  Taban 5'tir: −(5⁰) = −1

• (2/3)⁰ = 1

Negatif üs, sayının çarpmaya göre tersinin alınacağını gösterir. Üs pozitife döner, taban ters çevrilir. Negatif üs sonucu negatif yapmaz.

• 2⁻³ = 1/2³ = 1/8

• 10⁻² = 1/100 = 0,01

• (2/3)⁻² = (3/2)² = 9/4

• (−2)⁻³ = 1/(−2)³ = −1/8

  İşareti belirleyen tabandır: taban negatif, üs tek

• 1/5⁻² = 5² = 25

  Paydadaki negatif üslü çarpan paya pozitif üsle geçer

Çarpma ve bölmede iki durum vardır: tabanlar aynıysa üsler toplanır ya da çıkarılır; üsler aynıysa tabanlar çarpılır ya da bölünür. İkisi de farklıysa sayılar önce ortak tabana çevrilmeye çalışılır.

• 4³ · 2⁵ = 2⁶ · 2⁵ = 2¹¹

  Önce 4 = 2² yazılarak tabanlar eşitlenir

• 9² ÷ 3³ = 3⁴ ÷ 3³ = 3

  81 ÷ 27 = 3

• 2⁻² · 2⁵ = 2³ = 8

  −2 + 5 = 3

Taban da üs de farklıysa kural doğrudan uygulanmaz: 2³ · 3² ifadesi 6⁵ değildir, 8 · 9 = 72'dir.

• (2³)² = 2⁶ = 64

  2³ · 2³ = 2⁶

• (3⁻¹)⁻² = 3² = 9

  (−1) · (−2) = 2

• (2 · 5)³ = 2³ · 5³ = 8 · 125 = 1000

  Parantez içindeki her çarpanın kuvveti alınır

(2³)² ile “2 üssü 3²” aynı şey değildir. İlkinde üsler çarpılır: 2⁶ = 64. İkincisinde önce üs hesaplanır: 3² = 9 olduğundan sonuç 2⁹ = 512 olur.

10'un pozitif kuvvetinde üs, 1'in yanına yazılacak sıfır sayısını; negatif kuvvetinde virgülden sonraki basamak sayısını verir.

Çok büyük ya da çok küçük sayılar bu biçimde yazılır. Virgül sola kaydırıldıkça üs artar, sağa kaydırıldıkça azalır.

• 4 500 000 = 4,5 · 10⁶

  Virgül 6 basamak sola kaydı

• 0,00072 = 7,2 · 10⁻⁴

  Virgül 4 basamak sağa kaydı

• 340 · 10³ = 3,4 · 10⁵

  340 = 3,4 · 10², üsler toplanır

• 0,05 · 10⁻² = 5 · 10⁻⁴

  0,05 = 5 · 10⁻²

• (3 · 10⁴) · (2 · 10⁵) = 6 · 10⁹

  Katsayılar çarpılır, 10'un üsleri toplanır

• (8 · 10⁶) ÷ (4 · 10²) = 2 · 10⁴

34 · 10⁵ bilimsel gösterim değildir, çünkü 34 sayısı 10'dan büyüktür. Doğrusu 3,4 · 10⁶'dır.

Toplama ve çıkarmada üsler toplanmaz. Aynı üslü ifadeler benzer terim gibi toplanır; farklı üsler varsa ortak çarpan paranteze alınır.

• 2⁵ + 2⁵ = 2 · 2⁵ = 2⁶ = 64

  32 + 32 = 64

• 3⁴ + 3⁴ + 3⁴ = 3 · 3⁴ = 3⁵ = 243

  81 · 3 = 243

• 5 · 2³ + 3 · 2³ = 8 · 2³ = 2⁶ = 64

  40 + 24 = 64

• 2⁵ + 2⁴ = 2⁴ · (2 + 1) = 3 · 2⁴ = 48

  Ortak çarpan 2⁴; 32 + 16 = 48

• 3⁵ − 3³ = 3³ · (3² − 1) = 27 · 8 = 216

  243 − 27 = 216

2³ + 2³ ifadesi 2⁶ değildir: 8 + 8 = 16 = 2⁴. Aynı sayıdan iki tane toplamak, o sayıyı 2 ile çarpmaktır.