Köklü Sayılar Konu Anlatımı

Bir sayının karekökü, kendisiyle çarpıldığında o sayıyı veren negatif olmayan sayıdır. √ işaretinin altındaki sayıya kök içi denir.

• √49 = 7

  7² = 49

• √0 = 0

• √(9/25) = 3/5

  Pay ve paydanın kökü ayrı ayrı alınır

• √0,36 = 0,6

  0,6 · 0,6 = 0,36

7² = 49 ve (−7)² = 49 olsa da √49 yalnızca 7'dir; karekök sonucu hiçbir zaman negatif değildir. √(−4) gibi negatif sayının karekökü reel sayı değildir.

Bir doğal sayının karesi olan sayıya tam kare denir. Tam kare sayıların karekökü doğal sayıdır; bu tablonun bilinmesi kök dışına çıkarmayı ve tahmini hızlandırır.

Sayının hemen altındaki ve hemen üstündeki tam kareler bulunur. Karekök, bu tam karelerin kökleri arasındadır ve sayı hangi tam kareye yakınsa kökü de o tam sayıya yakındır.

• √40 → 36 < 40 < 49 → 6 < √40 < 7

  40, 36'ya daha yakın: √40 ≈ 6,3

• √60 → 49 < 60 < 64 → 7 < √60 < 8

  60, 64'e daha yakın: √60 ≈ 7,7

• √85 → 81 < 85 < 100 → 9 < √85 < 10

  85, 81'e daha yakın: √85 ≈ 9,2

Bu yakınlık kaba bir tahmindir; kökün ondalık kısmı, sayının tam kareler arasındaki konumuyla tam orantılı değildir. Soruda genellikle hangi iki tam sayı arasında olduğu istenir.

Kök içindeki sayı, en büyük tam kare çarpanı ile başka bir sayının çarpımı olarak yazılır. Tam kare çarpanın kökü dışarı çıkar, kalan içeride kalır.

• √12 = √(4 · 3) = 2√3

• √18 = √(9 · 2) = 3√2

• √50 = √(25 · 2) = 5√2

• √72 = √(36 · 2) = 6√2

  √(4 · 18) = 2√18 yazıp bırakmak eksik olur; 18 içinde de 9 vardır

• √200 = √(100 · 2) = 10√2

Tersi de yapılır: dışarıdaki katsayının karesi alınıp içeri çarpılır. Bu yöntem köklü sayıları karşılaştırmakta kullanılır.

• 3√2 = √(9 · 2) = √18

• 2√5 = √20 ve 3√2 = √18 → 2√5 > 3√2

Katsayılar kendi arasında, kök içleri kendi arasında çarpılır ya da bölünür. Sonuç sadeleşebiliyorsa kök dışına çıkarılır.

• √2 · √8 = √16 = 4

• √3 · √12 = √36 = 6

• 2√3 · 5√2 = 10√6

  2 · 5 = 10, √3 · √2 = √6

• √5 · √5 = 5

  Genel olarak √a · √a = a

• √50 ÷ √2 = √25 = 5

• 6√15 ÷ 2√3 = 3√5

  6 ÷ 2 = 3, √15 ÷ √3 = √5

Yalnızca kök içleri aynı olan (benzer) terimler toplanır ya da çıkarılır; katsayılar işleme girer, kök içi aynen kalır. Kök içleri farklıysa önce kök dışına çıkarma denenir.

• 3√2 + 5√2 = 8√2

• 2√3 + 4√3 − √3 = 5√3

• √12 + √27 = 2√3 + 3√3 = 5√3

• √50 − √8 = 5√2 − 2√2 = 3√2

√2 + √3 ifadesi √5'e eşit değildir ve daha fazla sadeleşmez. Aynı şekilde √(9 + 16) = √25 = 5 olur, 3 + 4 = 7 değil.

Paydada köklü ifade bırakılmaz. Payda tek bir kökse pay ve payda aynı kökle; payda iki terimliyse eşleniği ile çarpılır.

• 6/√3 = 6√3/3 = 2√3

  Pay ve payda √3 ile çarpıldı

• 5/√10 = 5√10/10 = √10/2

• 1/(√3 − 1) = (√3 + 1)/(3 − 1) = (√3 + 1)/2

  Eşlenik: √3 + 1

• 4/(√5 + 1) = 4(√5 − 1)/(5 − 1) = √5 − 1

• 2/(√5 − √3) = 2(√5 + √3)/(5 − 3) = √5 + √3

Karekök sonucu negatif olamayacağı için bir sayının karesinin karekökü, sayının kendisi değil mutlak değeridir.

• √((−5)²) = √25 = 5 = |−5|

• x < 0 ise √(x²) = −x

  x = −3 için √9 = 3 = −(−3)

• √((2 − √5)²) = |2 − √5| = √5 − 2

  √5 ≈ 2,24 olduğundan 2 − √5 negatiftir

Karekökün yanında küpkök (∛), dördüncü dereceden kök (∜) ve genel olarak n'inci dereceden kök vardır. Tek dereceli kökte kök içi negatif olabilir, çift dereceli kökte olamaz.

• ∛8 = 2

  8'in üssü 1/3 olan kuvveti; 2³ = 8

• ∜16 = 2

  2⁴ = 16

• ∛(−27) = −3

  Tek dereceli kök: (−3)³ = −27

• ∛(2⁶) = 2² = 4

  Üs 6/3 = 2 olur

• ∛(8²) = (∛8)² = 4

  8'in üssü 2/3 olan kuvveti

• √(x³)

  x'in üssü 3/2 olan kuvveti olarak yazılır (x ≥ 0)

Üslü biçime geçince üslü sayıların bütün kuralları kullanılır; örneğin √x · ∛x çarpımında üsler toplanır: 1/2 + 1/3 = 5/6.