Kümeler Konu Anlatımı

Bir topluluğun küme olabilmesi için iyi tanımlanmış olması gerekir: bir nesnenin o topluluğa ait olup olmadığı tartışmasız söylenebilmelidir. “Türkiye'deki iller” bir kümedir; “güzel şarkılar” küme değildir, çünkü kişiden kişiye değişir.

• Kümeler büyük harfle (A, B, C), elemanlar küçük harfle gösterilir.
• a ∈ A → a, A kümesinin elemanıdır. b ∉ A → b, A'nın elemanı değildir.
• Aynı eleman bir kümede bir kez yazılır: {1, 2, 2, 3} kümesi {1, 2, 3} ile aynıdır.
• Elemanların sırası önemsizdir: {1, 2, 3} = {3, 1, 2}.

• A = {a, b, c, d} → s(A) = 4

• B = {x : x, 10'dan küçük asal sayı} = {2, 3, 5, 7} → s(B) = 4

Eleman sayısı çok olan ya da sonsuz kümelerde liste yöntemi kullanışlı değildir; ortak özellik yöntemi tercih edilir.

• Ç = {x : x, çift doğal sayı} = {0, 2, 4, 6, …}

  Sonsuz küme; üç nokta devam ettiğini gösterir.

• K = {x : x, “MATEMATİK” kelimesinin harfleri} = {M, A, T, E, İ, K}

  Tekrar eden harfler bir kez yazılır → 6 eleman.

• Boş küme: Hiç elemanı olmayan kümedir. ∅ ya da { } ile gösterilir. {∅} boş küme DEĞİLDİR; 1 elemanlı bir kümedir.
• Eşit kümeler: Aynı elemanlara sahip kümelerdir. A = B yazılır.
• Denk kümeler: Eleman sayıları eşit olan kümelerdir; elemanların aynı olması gerekmez. A ↔ B yazılır.
• Evrensel küme (E): Üzerinde çalışılan tüm elemanları kapsayan kümedir.

• A = {1, 2, 3} ve B = {3, 2, 1} → A = B

  Sıra önemsiz olduğu için eşittirler.

• C = {a, b, c} ve D = {1, 2, 3} → C ↔ D

  Eleman sayıları eşit ama kümeler eşit değil.

• M = {x : x, 2'den küçük asal sayı} = ∅

  2'den küçük asal sayı yoktur.

Eşit kümeler her zaman denktir, ama denk kümeler eşit olmak zorunda değildir.

A kümesinin her elemanı B kümesinde de varsa A, B'nin alt kümesidir: A ⊂ B. Her küme kendisinin alt kümesidir ve boş küme her kümenin alt kümesidir.

• A = {1, 2, 3} kümesinin tüm alt kümeleri

  ∅, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3} → 8 tane

• 6 elemanlı bir kümenin kaç alt kümesi vardır?

  2⁶ = 64

Özalt küme, kümenin kendisi dışındaki alt kümelerdir; bu yüzden sayısı bir eksiktir. Belirli bir elemanı içeren alt küme sayısı ise 2ⁿ⁻¹'dir.

Birleşim (A ∪ B), iki kümenin bütün elemanlarından oluşur; ortak elemanlar bir kez yazılır. Kesişim (A ∩ B) ise yalnızca ortak elemanlardan oluşur.

• A = {1, 2, 3, 4} ve B = {3, 4, 5} için A ∪ B ve A ∩ B

  A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5} · · · A ∩ B = {3, 4}

• Ortak elemanı olmayan kümeler (ayrık kümeler)

  A ∩ B = ∅ ise A ile B ayrıktır; birleşimin eleman sayısı toplamdır.

• A ∪ A = A ve A ∩ A = A
• A ∪ ∅ = A ve A ∩ ∅ = ∅
• A ⊂ B ise A ∪ B = B ve A ∩ B = A
• Birleşim ve kesişimde sıra değişebilir: A ∪ B = B ∪ A

Fark (A \ B), A'da olup B'de olmayan elemanlardır. Tümleyen (A′) ise evrensel kümede olup A'da olmayan elemanlardır; yani A′ = E \ A.

• A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5} için A \ B ve B \ A

  A \ B = {1, 2} · · · B \ A = {5} → fark işleminde sıra önemlidir.

• E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ve A = {2, 4, 6} için A′

  A′ = {1, 3, 5}

• A \ B = A ∩ B′
• (A′)′ = A
• A ∪ A′ = E ve A ∩ A′ = ∅
• s(A) + s(A′) = s(E)

Birleşim ve kesişimde sıra değişebilir ama farkta değişmez: A \ B ile B \ A çoğunlukla farklı kümelerdir.

İki kümenin birleşiminde ortak elemanlar iki kez sayıldığı için bir kez çıkarılır. Bu kural “içerme-dışarma” olarak bilinir ve problemlerin çoğu bu formülle çözülür.

• 30 kişilik sınıfta 18 öğrenci matematik, 15 öğrenci fizik kursuna gidiyor; 8 öğrenci ikisine birden gidiyor. Hiçbirine gitmeyen kaç kişidir?

  En az birine giden = 18 + 15 − 8 = 25 → 30 − 25 = 5 kişi

• Yalnızca matematiğe gidenler kaç kişidir?

  18 − 8 = 10 kişi (kesişim çıkarılır)

• 40 kişinin 22'si çay, 25'i kahve içiyor, herkes en az birini içiyor. İkisini de içen kaç kişidir?

  40 = 22 + 25 − x → x = 7

“Yalnızca A” ile “A” karıştırılmamalıdır. Soruda “yalnızca”, “sadece”, “birini”, “en az birini”, “ikisini de” ifadeleri Venn şemasında hangi bölgenin istendiğini belirler; şema çizip bölgeleri tek tek yazmak en güvenli yoldur.