Mutlak Değer Konu Anlatımı

Sayı doğrusunda bir sayının sıfır noktasına olan uzaklığına o sayının mutlak değeri denir. Uzaklık yön taşımadığı için −5 ile +5'in mutlak değeri aynıdır: ikisi de sıfırdan 5 birim uzaktadır.

İkinci satır ilk bakışta şaşırtır: negatif bir sayının başına eksi gelince sonuç pozitif olur. x = −4 için |−4| = −(−4) = 4.

• |9| = 9

• |−12| = 12

• |0| = 0

  Sıfırın sıfıra uzaklığı sıfırdır.

• |3 − 8| = |−5| = 5

  Önce içerideki işlem yapılır.

Mutlak değer parantezi bir işlem parantezidir: içerideki ifade önce hesaplanır, sonra işaretine bakılır.

Toplama dağılmaz: |x + y| genelde |x| + |y| değildir. x = 3, y = −3 için |3 + (−3)| = 0 ama |3| + |−3| = 6. Doğru olan üçgen eşitsizliğidir: |x + y| ≤ |x| + |y|.

• |−3 · 4| = |−12| = 12 = |−3| · |4| = 3 · 4

  Çarpmada dağılım çalışır.

• √((−6)²) = √36 = 6 = |−6|

  √(x²) = x demek yanlıştır.

İçerideki ifadenin işareti biliniyorsa mutlak değer doğrudan kaldırılır: ifade pozitifse aynen yazılır, negatifse tamamı −1 ile çarpılır.

• x < 2 için |x − 2| ifadesi nedir?

  x − 2 negatif → |x − 2| = −(x − 2) = 2 − x

• a > 0 ve b < 0 için |a| + |b| − |a − b| ifadesini sadeleştirin.

  |a| = a, |b| = −b, a − b pozitif (a > 0 > b) → a + (−b) − (a − b) = 0

• |π − 4| ifadesi kaçtır?

  π ≈ 3,14 < 4 → π − 4 negatif → |π − 4| = 4 − π

Büyük sayıdan küçük sayıyı çıkarmak her zaman pozitif sonuç verir. |5 − √2| gibi ifadelerde hangisinin büyük olduğuna karar vermek yeterlidir.

|A| = b biçimindeki denklemde b'nin işaretine bakılır. b negatifse çözüm yoktur; b = 0 ise tek çözüm vardır; b pozitifse iki durum yazılır.

• |x − 3| = 5

  x − 3 = 5 → x = 8 · · · x − 3 = −5 → x = −2 · · · Çözüm: {−2, 8}

• |2x + 1| = 7

  2x + 1 = 7 → x = 3 · · · 2x + 1 = −7 → x = −4 · · · Çözüm: {−4, 3}

• |x + 4| = −2

  Mutlak değer negatif olamaz → çözüm yoktur (boş küme).

• |3x − 6| = 0

  Tek durum: 3x − 6 = 0 → x = 2

İki mutlak değer eşitse (|A| = |B|) yine iki durum yazılır: A = B veya A = −B.

• |x − 1| = |2x + 3|

  x − 1 = 2x + 3 → x = −4 · · · x − 1 = −(2x + 3) → 3x = −2 → x = −2/3

Denklemin bir tarafında bilinmeyen de varsa (|x − 1| = x + 5 gibi) bulunan kökler denklemde yerine konularak kontrol edilir; sağ taraf negatif çıkan kökler geçersizdir.

Mutlak değer uzaklık olduğu için eşitsizlikler “sıfıra uzaklığı şu kadardan az/çok olan sayılar” diye okunur. Küçüktür aralık, büyüktür ise iki ayrı bölge verir.

• |x| < 4

  Sıfıra uzaklığı 4'ten az olanlar → −4 < x < 4

• |x − 2| ≤ 3

  −3 ≤ x − 2 ≤ 3 → −1 ≤ x ≤ 5

• |2x + 1| > 5

  2x + 1 > 5 → x > 2 · · · 2x + 1 < −5 → x < −3 · · · Çözüm: x < −3 veya x > 2

|x| > −3 her x için doğrudur (mutlak değer zaten negatif olamaz), |x| < −3 ise hiçbir x için doğru değildir. Sağ taraf negatifse çözüm kümesi ya gerçek sayıların tamamıdır ya da boş kümedir.

Sayı doğrusunda a ve b noktaları arasındaki uzaklık |a − b| ile bulunur. Hangi sayıdan hangisinin çıkarıldığı önemli değildir, çünkü |a − b| = |b − a|.

• −3 ile 5 arası uzaklık = |−3 − 5| = |−8| = 8

• |x − 7| = 2 ifadesi ne anlama gelir?

  7'ye uzaklığı 2 birim olan sayılar: 5 ve 9

• |x + 3| < 1 hangi aralıktır?

  |x − (−3)| < 1 → −3'e uzaklığı 1'den az → −4 < x < −2

|x + 3| ifadesini |x − (−3)| diye okumak eşitsizliklerde merkezi görmeyi kolaylaştırır: merkez −3, yarıçap sağ taraftaki sayıdır.

Mutlak değerin en küçük değeri sıfırdır. Bu yüzden |A| + c biçimindeki ifadeler en küçük değerini A = 0 olduğunda alır.

• |x − 5| + 3 ifadesinin en küçük değeri nedir?

  |x − 5| en az 0 (x = 5 iken) → en küçük değer 3

• 8 − |x + 2| ifadesinin en büyük değeri nedir?

  Çıkarılan en küçük olmalı → |x + 2| = 0 (x = −2) → en büyük değer 8

• |x − 1| + |x − 6| ifadesinin en küçük değeri nedir?

  1 ile 6 arasındaki her x için toplam sabit: 5

|x − a| + |x − b| ifadesi, x iki nokta arasında olduğu sürece sabittir ve değeri |a − b| olur. Dışarı çıkıldıkça büyür.