Matematik konu anlatımı
Pisagor Bağıntısı Konu Anlatımı
Ortaokul · Lise
Pisagor bağıntısı, bir dik üçgende hipotenüsün karesinin dik kenarların kareleri toplamına eşit olduğunu söyler: a² + b² = c². Bağıntı yalnızca dik üçgenlerde geçerlidir ve hipotenüs, dik açının karşısındaki en uzun kenardır. Bu sayfada formülün kullanımı, hipotenüs ve dik kenar bulma, Pisagor üçlüleri, özel dik üçgenler ve günlük hayat uygulamaları yer alır.
Matematiği birlikte çözelim
Özel ders matematik öğretmenleri burada
Tanışma görüşmesi ücretsiz, ders sayılmaz
Matematik öğretmenlerini görPisagor bağıntısı nedir?
Bir açısı 90° olan üçgene dik üçgen denir. Dik açıyı oluşturan iki kenara dik kenar, dik açının karşısındaki kenara hipotenüs adı verilir. Hipotenüs her zaman üçgenin en uzun kenarıdır.
Pisagor bağıntısı
Dik kenarlar a ve b, hipotenüs c ise: a² + b² = c²
Bağıntı geometrik olarak şunu söyler: dik kenarların üzerine çizilen karelerin alanları toplamı, hipotenüs üzerine çizilen karenin alanına eşittir.
Formülde c her zaman hipotenüstür. Kenarları rastgele a, b, c diye adlandırıp formüle yerleştirmek en sık yapılan hatadır; önce dik açının karşısındaki kenar bulunmalıdır.
Hipotenüs nasıl bulunur?
İki dik kenar biliniyorsa kareleri toplanır ve sonucun karekökü alınır.
Formül
c = √(a² + b²)
Dik kenarları 6 cm ve 8 cm olan dik üçgenin hipotenüsü kaç cm?
c² = 36 + 64 = 100 → c = 10 cm
Dik kenarları 5 cm ve 12 cm olan dik üçgenin hipotenüsü?
c² = 25 + 144 = 169 → c = 13 cm
Dik kenarları 2 cm ve 3 cm olan dik üçgenin hipotenüsü?
c² = 4 + 9 = 13 → c = √13 cm ≈ 3,6 cm
Sonuç tam sayı çıkmak zorunda değildir. √13 gibi köklü bir değer de geçerli bir cevaptır; ondalık yaklaşım ancak soru isterse verilir.
Dik kenar nasıl bulunur?
Hipotenüs ve bir dik kenar biliniyorsa, hipotenüsün karesinden bilinen dik kenarın karesi çıkarılır.
Formül
a = √(c² − b²)
Hipotenüsü 13 cm, bir dik kenarı 5 cm olan üçgenin diğer dik kenarı?
a² = 169 − 25 = 144 → a = 12 cm
Hipotenüsü 25 cm, bir dik kenarı 24 cm olan üçgende diğer kenar?
a² = 625 − 576 = 49 → a = 7 cm
Çıkarma işleminde her zaman büyük olan hipotenüsün karesinden küçük kenarın karesi çıkarılır. Ters yapılırsa karekök altında negatif sayı çıkar; bu, kenarların yanlış eşleştirildiğinin işaretidir.
Pisagor üçlüleri
Üçü de tam sayı olan ve bağıntıyı sağlayan kenar üçlülerine Pisagor üçlüsü denir. Bu üçlüleri tanımak, sınav sorularında karekök almadan sonuca gitmeyi sağlar.
| Dik kenar | Dik kenar | Hipotenüs |
|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 |
| 5 | 12 | 13 |
| 8 | 15 | 17 |
| 7 | 24 | 25 |
| 9 | 40 | 41 |
| 20 | 21 | 29 |
Bir Pisagor üçlüsünün her elemanı aynı sayıyla çarpılırsa yine bir Pisagor üçlüsü elde edilir. Bu yüzden 3-4-5 üçlüsünden 6-8-10, 9-12-15, 30-40-50 üçlüleri türer.
Dik kenarları 30 cm ve 40 cm olan üçgenin hipotenüsü?
3-4-5 üçlüsünün 10 katı → 50 cm
Hipotenüsü 26 cm, bir dik kenarı 10 cm olan üçgende diğer kenar?
5-12-13 üçlüsünün 2 katı → 24 cm
45°-45°-90° ve 30°-60°-90° üçgenleri
Açıları belli olan iki özel dik üçgende kenarlar arasındaki oran sabittir. Bu oranlar Pisagor bağıntısından türetilir ve hesabı kısaltır.
| Üçgen | Kenar oranı | Açıklama |
|---|---|---|
| 45°-45°-90° | 1 : 1 : √2 | İkizkenar dik üçgen; hipotenüs, dik kenarın √2 katıdır. |
| 30°-60°-90° | 1 : √3 : 2 | 30°'nin karşısı hipotenüsün yarısıdır. |
Bir karenin kenarı 5 cm ise köşegeni kaç cm?
Köşegen 45°-45°-90° üçgeninin hipotenüsüdür → 5√2 cm ≈ 7,07 cm
30°-60°-90° üçgeninde hipotenüs 12 cm ise kısa dik kenar kaç cm?
30°'nin karşısı = 12 / 2 = 6 cm, diğer dik kenar 6√3 cm
Kenarı 6 cm olan eşkenar üçgenin yüksekliği kaç cm?
Yükseklik 30-60-90 üçgeni oluşturur → 3√3 cm ≈ 5,2 cm
Bir üçgenin dik olup olmadığı nasıl anlaşılır?
Pisagor bağıntısının tersi de doğrudur: en uzun kenarın karesi, diğer iki kenarın kareleri toplamına eşitse üçgen diktir. Eşit değilse üçgenin türü karşılaştırmayla anlaşılır.
| Koşul | Üçgen türü |
|---|---|
| c² = a² + b² | Dik üçgen |
| c² < a² + b² | Dar açılı üçgen |
| c² > a² + b² | Geniş açılı üçgen |
Kenarları 9, 12, 15 olan üçgen dik midir?
15² = 225 ve 9² + 12² = 81 + 144 = 225 → eşit, dik üçgendir (3-4-5'in 3 katı).
Kenarları 4, 6, 8 olan üçgen hangi türdendir?
8² = 64 > 4² + 6² = 52 → geniş açılı üçgen
Günlük hayatta ve koordinat düzleminde Pisagor
Doğrudan ölçülemeyen uzunluklar, dik üçgen kurularak hesaplanır. Koordinat düzleminde iki nokta arasındaki uzaklık da Pisagor bağıntısının bir sonucudur.
İki nokta arası uzaklık
A(x₁, y₁) ile B(x₂, y₂) arası = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)
Merdiven: 5 m'lik merdivenin alt ucu duvardan 3 m uzakta. Merdiven duvara kaç metre yükseklikte dayanır?
√(25 − 9) = √16 = 4 m
Ekran: 60 cm eninde, 80 cm boyunda bir ekranın köşegeni kaç cm?
√(3 600 + 6 400) = √10 000 = 100 cm
Yol: Bir kişi 9 km kuzeye, sonra 12 km doğuya yürüyor. Başlangıç noktasına kuş uçuşu uzaklığı?
√(81 + 144) = √225 = 15 km
Koordinat: A(1, 2) ve B(4, 6) arasındaki uzaklık?
√(3² + 4²) = √25 = 5 birim
Problemde “dik”, “dikey”, “kuzey-doğu”, “duvar-zemin”, “köşegen” geçiyorsa büyük ihtimalle dik üçgen vardır; şekil çizilip dik açı işaretlenerek başlanmalıdır.
Sık yapılan hatalar
| Yanlış | Doğru | Neden? |
|---|---|---|
| Dik kenarları 6 ve 8 olan üçgende 6² + 8² = 10 yazmak | 6² + 8² = 100 → c = √100 = 10 | Toplamın kendisi değil, karekökü hipotenüsü verir. |
| Hipotenüsü 13, bir kenarı 5 olan üçgende 13² + 5² = 194 | 13² − 5² = 144 → 12 | Hipotenüs biliniyorsa toplama değil çıkarma yapılır. |
| Her üçgende a² + b² = c² kullanmak | Yalnızca dik üçgenlerde geçerlidir. | Bağıntının koşulu bir açının 90° olmasıdır. |
| Kenarları 3, 4, 5 olan üçgende hipotenüs 4'tür | Hipotenüs 5'tir. | Hipotenüs her zaman en uzun kenardır ve dik açının karşısındadır. |
| Kenarı 5 olan karenin köşegeni 10'dur | 5√2 ≈ 7,07 | Köşegen, kenarın iki katı değil √2 katıdır. |
| √(a² + b²) = a + b | √(9 + 16) = 5, ama 3 + 4 = 7 | Karekök toplama dağılmaz. |
Kısa alıştırma
1.Dik kenarları 9 cm ve 12 cm olan dik üçgenin hipotenüsü kaç cm?
Cevabı göster
√(81 + 144) = √225 = 15 cm
2.Hipotenüsü 17 cm, bir dik kenarı 8 cm olan üçgenin diğer dik kenarı?
Cevabı göster
√(289 − 64) = √225 = 15 cm
3.Kenarı 7 cm olan karenin köşegeni kaç cm?
Cevabı göster
7√2 cm ≈ 9,9 cm
4.Kenarları 10, 24, 26 olan üçgen dik midir?
Cevabı göster
26² = 676 = 100 + 576 → evet, dik üçgen
5.30°-60°-90° üçgeninde kısa dik kenar 5 cm ise hipotenüs kaç cm?
Cevabı göster
5 · 2 = 10 cm
6.A(−2, 1) ile B(2, 4) arasındaki uzaklık kaç birimdir?
Cevabı göster
√(4² + 3²) = 5 birim
7.Dik kenarları 1 cm ve 1 cm olan üçgenin hipotenüsü nedir?
Cevabı göster
√2 cm ≈ 1,41 cm
8.Bir dikdörtgenin kenarları 15 cm ve 20 cm ise köşegeni kaç cm?
Cevabı göster
√(225 + 400) = √625 = 25 cm