Permütasyon ve Kombinasyon Konu Anlatımı

Permütasyon ve kombinasyon formüllerinin temelinde iki basit kural vardır. Seçenekler arasında “veya” varsa toplanır, adımlar “ve” ile birbirini izliyorsa çarpılır.

• 3 gömlek ve 4 pantolonla kaç farklı kombinasyon oluşur?

  Çarpma kuralı: 3 · 4 = 12

• Bir şehre 3 otobüs veya 2 tren seferiyle gidiliyorsa kaç seçenek vardır?

  Toplama kuralı: 3 + 2 = 5

• 0, 1, 2, 3, 4 rakamlarıyla rakamları farklı kaç üç basamaklı sayı yazılır?

  Yüzler basamağı 0 olamaz: 4 · 4 · 3 = 48

1'den n'ye kadar olan doğal sayıların çarpımına n faktöriyel denir ve n! ile gösterilir.

• 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120

• 8! / 6! = (8 · 7 · 6!) / 6! = 8 · 7 = 56

  Sadeleştirme için büyük faktöriyel açılır.

• n! = n · (n−1)!

  Bu özyineleme sadeleştirmelerin anahtarıdır.

0! = 1 bir tanımdır, hesaplama sonucu değil. Formüllerin r = n durumunda da çalışması için böyle kabul edilir.

n nesneden r tanesinin sıralı olarak seçilip dizilmesine permütasyon denir. Sıra değişince farklı bir diziliş sayıldığı için sonuç kombinasyondan büyüktür.

• 5 kişiden 3'ü başkan, başkan yardımcısı ve sayman seçilecek. Kaç farklı şekilde?

  Görevler farklı → sıralı: P(5,3) = 5 · 4 · 3 = 60

• 4 kişi bir sıraya kaç farklı şekilde oturur?

  P(4,4) = 4! = 24

• “KALEM” kelimesinin harfleriyle kaç farklı 5 harfli dizilim yazılır?

  Harfler farklı → 5! = 120

Pratik hesap için formülü ezberlemek şart değildir: P(n, r), n'den başlayarak r tane sayının azalarak çarpımıdır. P(7, 3) = 7 · 6 · 5 = 210.

Dizilecek nesnelerin bazıları birbirinin aynısıysa, aynı olanların kendi aralarındaki dizilişleri fark yaratmaz. Bu yüzden toplam diziliş sayısı, tekrar eden nesnelerin faktöriyellerine bölünür.

• “ANNE” kelimesinin harfleriyle kaç farklı dizilim yazılır?

  4 harf, N iki kez → 4! / 2! = 12

• “MATEMATİK” kelimesinin harfleri kaç farklı şekilde dizilir?

  9 harf; M 2, A 2, T 2 kez → 9! / (2! · 2! · 2!) = 45 360

• 3 kırmızı, 2 mavi özdeş top bir sıraya kaç şekilde dizilir?

  5! / (3! · 2!) = 10

n nesneden r tanesinin sıraya bakılmadan seçilmesine kombinasyon denir. Aynı r nesnenin her dizilişi tek bir seçim sayıldığı için permütasyon r!'e bölünür.

• 5 kişiden 3 kişilik komite kaç farklı şekilde seçilir?

  Görevler aynı → sırasız: C(5,3) = (5 · 4 · 3) / (3 · 2 · 1) = 10

• 8 soruluk sınavda 5 soru seçilecekse kaç seçenek vardır?

  C(8,5) = C(8,3) = (8 · 7 · 6) / 6 = 56

• Bir düzlemde hiçbir üçü doğrusal olmayan 7 noktadan kaç doğru geçer?

  Doğru iki noktayla belirlenir, sıra önemsiz → C(7,2) = 21

• C(n, 0) = C(n, n) = 1 — hiç seçmemek ya da hepsini seçmek tek yoldur.
• C(n, 1) = n — bir nesne n yolla seçilir.
• C(n, r) = C(n, n−r) — r tane seçmek, geriye kalan n−r taneyi seçmekle aynı sayıda yol verir.

C(20, 18) gibi büyük değerlerde C(n, r) = C(n, n−r) özelliği kullanılır: C(20, 18) = C(20, 2) = 190.

Tek soru yeterlidir: seçilenlerin sırası sonucu değiştiriyor mu? Değiştiriyorsa permütasyon, değiştirmiyorsa kombinasyondur.

• 6 takımlı ligde her takım her takımla bir kez oynarsa kaç maç yapılır?

  A–B ile B–A aynı maç → C(6,2) = 15

• Aynı ligde çift devreli olursa?

  Deplasman farkı sırayı önemli kılar → P(6,2) = 30

Olasılıkta istenen durum sayısı ve tüm durum sayısı çoğunlukla kombinasyonla hesaplanır. Aynı türden nesneler arasından seçim yapılıyorsa ve sıra önemli değilse pay da payda da kombinasyondur.

• İçinde 5 kırmızı ve 3 mavi top olan torbadan rastgele 2 top çekiliyor. İkisinin de kırmızı olma olasılığı?

  C(5,2) / C(8,2) = 10 / 28 = 5/14

• Aynı torbadan çekilen 2 topun farklı renk olma olasılığı?

  (5 · 3) / C(8,2) = 15 / 28

• 6 kişilik gruptan 2 kişilik ekip seçiliyor. Belirli bir kişinin ekipte olma olasılığı?

  C(5,1) / C(6,2) = 5 / 15 = 1/3

Pay ve paydanın aynı yöntemle sayılması şarttır: payda kombinasyon kullanıp payda permütasyon kullanmak sonucu bozar.